📘 Lezione 08 - Oscillatori

📌 Overview

• Materia: Matematica applicata alla radiotecnica
• Argomento: Notazione scientifica, equivalenze tra unità di misura, equazioni di primo grado, logaritmi in base 10
• Tempo di studio stimato: 60–80 minuti
• Prerequisiti: Concetti base di algebra (potenze, frazioni), legge di Ohm e formula della potenza (Lezioni 01-02), unità di misura usate in elettronica (Henry, Farad, Ohm, Ampere, Volt, Watt)
• Obiettivi di apprendimento:
  • Saper convertire numeri da notazione scientifica a notazione decimale e viceversa
  • Padroneggiare le equivalenze tra multipli e sottomultipli delle unità di misura (da pico a giga)
  • Risolvere equazioni di primo grado per ricavare formule inverse (es. legge di Ohm)
  • Comprendere la definizione di logaritmo in base 10
  • Applicare le proprietà dei logaritmi per risolvere semplici equazioni logaritmiche

📖 Core Content

1. 🔢 Notazione Scientifica (⏱ 05:04–15:52)

🔹 Concetti di base

La notazione scientifica è un modo per rappresentare numeri molto grandi o molto piccoli usando le potenze del 10. Un numero in notazione scientifica è composto da:

• Una parte numerica (parte intera e decimale)
• Una potenza del 10 che indica l’ordine di grandezza

Ad esempio: $17{,}5 \times 10^3 = 17.500$

Potenza del 10 positiva — Indica che si aggiungono zeri a destra: il numero diventa più grande. Si sposta la virgola verso destra di tante posizioni quante indicate dall’esponente.

Potenza del 10 negativa — Indica che si aggiungono zeri a sinistra: il numero diventa più piccolo (più vicino a zero, ma sempre positivo). Si sposta la virgola verso sinistra di tante posizioni quante indicate dal valore assoluto dell’esponente.

⚠️ Errore comune: “Numeri molto piccoli” non significa “numeri negativi”. Significa numeri positivi che si avvicinano a zero (es. $0{,}0118$).

🔹 Regole di conversione

• Da notazione scientifica a decimale: partire dalla posizione della virgola. Se l’esponente è positivo, spostare la virgola verso destra; se negativo, verso sinistra.
  • Esempio: $17{,}5 \times 10^3 = 17.500$ (virgola spostata di 3 posizioni a destra)
  • Esempio: $1{,}18 \times 10^{-2} = 0{,}0118$ (virgola spostata di 2 posizioni a sinistra)
• Cambio di esponente: è possibile passare da una rappresentazione esponenziale a un’altra spostando la virgola e modificando l’esponente di conseguenza.
  • Esempio: $59{,}1 \times 10^{-3} = 5{,}91 \times 10^{-2}$ (virgola a sinistra di 1 → esponente aumenta di 1)
  • Attenzione al segno dell’esponente: se l’esponente è negativo, diminuirlo ulteriormente (renderlo più negativo) corrisponde a spostare la virgola a destra, non a sinistra.

⚠️ Attenzione: nella notazione anglosassone la virgola separa le migliaia e il punto separa i decimali — l’opposto della notazione italiana. Se si consultano risorse online in inglese, prestare attenzione a questa differenza.

2. 📐 Equivalenze tra Unità di Misura (⏱ 15:59–39:04)

🔹 Multipli e sottomultipli

Nella radiotecnica si usano frequentemente grandezze espresse in multipli o sottomultipli delle unità di misura fondamentali. La tabella seguente riporta quelli più rilevanti:

Dai kilo in su, le grandezze scalano di 1000 in 1000 (cioè di $10^3$ in $10^3$). Stessa cosa dal milli in giù. Tra unità base, deca, etto e kilo la scala è di 10 in 10.

🔹 Unità di misura comuni in radiotecnica

• Farad: spesso espresso in nano e picofarad (nF, pF)
• Henry: spesso espresso in millihenry e microhenry (mH, µH)
• Ohm: può trovarsi in micro e milliohm, ma anche in kilohm e megaohm
• Ampere: spesso in milliampere (mA) e a volte microampere (µA)
• Hertz: le frequenze si esprimono in kilohertz (kHz), megahertz (MHz), gigahertz (GHz)
• Watt: spesso in milliwatt (mW) e microwatt (µW)

🔹 Regola fondamentale per le equivalenze

Per convertire tra unità di misura diverse della stessa grandezza:

• Da unità più grande a più piccola → si moltiplica per la potenza di 10 corrispondente (il numero diventa più grande)
• Da unità più piccola a più grande → si divide per la potenza di 10 corrispondente (il numero diventa più piccolo)

In pratica, si conta quanti “scaloni” separano le due unità (ogni scalino = $\times 10^3$):

🔹 Esempio pratico: conversione di induttanza

$0{,}012 \text{ mH} = ?\ \mu\text{H}$

Da milli a micro si scende di uno scalino → si moltiplica per $10^3$:

🔹 Importanza dell’omogeneità

Quando si devono combinare grandezze in una formula (somma, sottrazione, ecc.), è indispensabile che siano espresse nella stessa unità di misura. Ad esempio, per sommare tre resistenze in serie:

• $R_1 = 0{,}2\ \Omega$, $R_2 = 20\ \text{m}\Omega$, $R_3 = 2000\ \mu\Omega$

Convertendo tutto in milliohm:

• $R_1 = 200\ \text{m}\Omega$
• $R_2 = 20\ \text{m}\Omega$
• $R_3 = 2\ \text{m}\Omega$

⚠️ Errore da evitare all’esame: sommare numeri in unità diverse senza prima convertirli. Ad esempio, $0{,}2 + 2000 = 2000{,}2$ non ha alcun significato se le unità non sono omogenee.

3. ➗ Equazioni di Primo Grado e Formule Inverse (⏱ 39:43–60:23)

🔹 Principio fondamentale delle equazioni

Un’equazione è una dichiarazione di equivalenza: ciò che sta a sinistra del simbolo $=$ ha lo stesso valore di ciò che sta a destra. Se si esegue la stessa operazione (somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione) su entrambi i membri, l’uguaglianza resta valida.

Questo principio permette di isolare l’incognita: si spostano tutti i termini noti da una parte e l’incognita dall’altra.

🔹 Esempio algebrico

1. Sottrarre 6 da entrambi i membri: $3x = 6$
2. Dividere per 3 entrambi i membri: $x = 2$

🔹 Applicazione alla legge di Ohm

La legge di Ohm è:

Da questa unica formula si ricavano tutte le altre per semplice manipolazione algebrica:

• Per trovare $R$: moltiplicare entrambi i membri per $R$, poi dividere per $I$:

• Per trovare $V$: moltiplicare entrambi i membri per $R$:

Consiglio pratico: non è necessario memorizzare tutte le formule inverse. Basta ricordare una sola formula (ad es. $V = I \times R$) e ricavare le altre isolando l’incognita desiderata. In caso di dubbio, si può anche verificare con numeri: se $V = I \times R$ e $10 = 5 \times 2$, allora $R = V/I = 10/5 = 2$.

🔹 Esercizio svolto: trovare la resistenza

Dati: $V = 20$ V, $I = 200$ mA

1. Convertire $I$ in ampere: $200\ \text{mA} = 0{,}2$ A
2. Applicare $R = V / I = 20 / 0{,}2 = 100\ \Omega$

⚠️ L’unità di misura dell’ohm è volt/ampere. Bisogna prima convertire i milliampere in ampere per avere il risultato in ohm.

🔹 Applicazione alla formula della potenza

La potenza dissipata è:

Se non si conosce la corrente ma si conoscono $V$ e $R$, si può sostituire $I = V/R$ nella formula della potenza:

Esempio: $V = 20$ V, $R = 50\ \Omega$

Questo mostra la tecnica della sostituzione: in un’equazione si può sostituire a una grandezza l’espressione equivalente derivata da un’altra formula.

4. 📊 I Logaritmi (⏱ 70:07–120:07)

🔹 Definizione

Il logaritmo in base $z$ dell’argomento $y$ è l’esponente $x$ che si deve dare alla base $z$ per ottenere $y$:

I due logaritmi più comuni sono:

• Logaritmo in base 10 (logaritmo comune): si scrive $\log$ o $\log_{10}$. La base 10 spesso si omette.
• Logaritmo naturale: si scrive $\ln$ (base $e \approx 2{,}718$). Non serve per gli esercizi radioamatoriali.

🔹 Interpretazione pratica

Il logaritmo in base 10 risponde alla domanda: “Qual è l’esponente da dare a 10 per ottenere quel numero?”

Esempi immediati:

• $\log 1000 = 3$ perché $10^3 = 1000$
• $\log 100 = 2$ perché $10^2 = 100$
• $\log 10 = 1$ perché $10^1 = 10$
• $\log 1 = 0$ perché $10^0 = 1$ (vale per qualunque base)

Per valori non interi (es. $\log 12$), si usa la calcolatrice: scrivere l’argomento, poi premere il tasto LOG.

🔹 Proprietà delle potenze (rilevanti per i logaritmi)

Poiché il logaritmo è essenzialmente un esponente, le regole delle potenze si riflettono sulle proprietà dei logaritmi:

🔹 Proprietà dei logaritmi

Queste proprietà sono fondamentali per risolvere equazioni logaritmiche e saranno usate nel calcolo dei decibel.

🔹 Risoluzione di equazioni con logaritmi

Il metodo consiste nell’isolare il logaritmo con l’incognita da un lato dell’equazione, poi applicare la definizione di logaritmo per trovare il valore.

Esempio 1: $20 \times \log\left(\frac{x}{50}\right) = 1{,}5$

1. Dividere entrambi i membri per 20: $\log\left(\frac{x}{50}\right) = 0{,}075$
2. Applicare la proprietà del quoziente: $\log x - \log 50 = 0{,}075$
3. Sommare $\log 50$ a entrambi i membri: $\log x = 0{,}075 + \log 50 = 0{,}075 + 1{,}699 = 1{,}774$
4. Applicare la definizione: $x = 10^{1{,}774} \approx 59{,}4$

Esempio 2: $10 \times \log\left(\frac{100}{x}\right) = 3$

1. Dividere per 10: $\log\left(\frac{100}{x}\right) = 0{,}3$
2. Scomporre: $\log 100 - \log x = 0{,}3$, quindi $2 - \log x = 0{,}3$
3. Isolare: $\log x = 1{,}7$
4. Risolvere: $x = 10^{1{,}7} \approx 50{,}1$

Nota: il docente ha accennato che i logaritmi saranno usati nel calcolo dei decibel (dB), argomento che sarà trattato nelle lezioni successive da Paolo. La struttura tipica delle equazioni logaritmiche d’esame è proprio della forma $N \times \log\left(\frac{x}{y}\right) = k$ o $N \times \log\left(\frac{y}{x}\right) = k$, dove $N$ è tipicamente 10 o 20.

🔹 Consigli per l’esame

• La calcolatrice è molto utile per i logaritmi, ma non è sempre ammessa all’esame (dipende dalla commissione e dal decreto ministeriale in vigore).
• Se la calcolatrice non è ammessa, i calcoli saranno sufficientemente semplici da farsi a mente.
• All’esame le domande sono a risposta multipla (di solito 3 opzioni): una è chiaramente errata, le altre due richiedono ragionamento.
• Pochi valori di logaritmo ricorrono frequentemente: $\log 2 \approx 0{,}301$, $\log 3 \approx 0{,}477$, $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$.

🔗 Concept Map (testuale)

• Notazione scientifica → usa → Potenze del 10 per rappresentare numeri grandi e piccoli
• Multipli e sottomultipli → sono espressi come → Potenze del 10 (kilo = $10^3$, milli = $10^{-3}$, micro = $10^{-6}$, ecc.)
• Equivalenze → richiedono → Omogeneità delle unità di misura prima di combinare grandezze
• Equazioni di primo grado → usano il principio di → Uguaglianza (stessa operazione su entrambi i membri)
• Formule inverse → si ricavano da → Equazioni di primo grado isolando l’incognita
• Legge di Ohm ($I = V/R$) → consente di ricavare → $R = V/I$ e $V = I \times R$
• Formula della potenza ($P = V \times I$) → combinata con la legge di Ohm → $P = V^2/R$
• Logaritmo in base 10 → è definito come → l’Esponente da dare a 10 per ottenere l’argomento
• Proprietà dei logaritmi → derivano dalle → Proprietà delle potenze
• Logaritmo di un prodotto → è uguale alla → Somma dei logaritmi dei fattori
• Logaritmo di un quoziente → è uguale alla → Differenza dei logaritmi (numeratore meno denominatore)
• Decibel → utilizzerà → Logaritmi in base 10 (argomento futuro)

📝 Key Takeaways

1. La notazione scientifica rappresenta un numero come parte numerica × potenza del 10. Esponente positivo → numero grande (virgola a destra); esponente negativo → numero piccolo (virgola a sinistra), mai negativo.

2. Le grandezze in radiotecnica usano prefissi standard: dal pico ($10^{-12}$) al tera ($10^{12}$), passando per nano, micro, milli, kilo, mega, giga. Da milli in giù e da kilo in su, si scala di $10^3$ alla volta.

3. Per convertire tra unità di misura: da unità più grande a più piccola si moltiplica; da più piccola a più grande si divide. Ad esempio: 0,012 mH × 1000 = 12 µH.

4. Prima di combinare grandezze in una formula, esse devono essere omogenee (stessa unità di misura). Questo è un trabocchetto frequente all’esame.

5. Le equazioni di primo grado si risolvono applicando la stessa operazione a entrambi i membri per isolare l’incognita. Non serve memorizzare tutte le formule inverse: basta conoscerne una e ricavare le altre.

6. Il logaritmo in base 10 di un numero $y$ è l’esponente da dare a 10 per ottenere $y$. Esempi fondamentali: $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$, $\log 1000 = 3$, $\log 1 = 0$.

7. Le proprietà chiave dei logaritmi: il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi; il logaritmo di un quoziente è la differenza; il logaritmo di una potenza è l’esponente per il logaritmo della base.

8. Per risolvere un’equazione logaritmica: isolare il logaritmo con l’incognita, poi applicare la definizione ($\log x = k \Rightarrow x = 10^k$). La struttura tipica all’esame è $N \times \log(x/y) = k$.

❓ Comprehension Questions

1. Come si converte il numero $4{,}7 \times 10^{-5}$ in notazione decimale? Spiega il procedimento passo per passo.

2. Se hai una capacità di 4700 pF e un’altra di 0,0047 µF, sono la stessa grandezza? Come verifichi che siano omogenee per poterle sommare?

3. Partendo dalla formula della potenza $P = V \times I$ e dalla legge di Ohm $I = V/R$, ricava la formula $P = I^2 \times R$. Mostra tutti i passaggi.

4. Spiega con parole tue cosa significa $\log 500 \approx 2{,}7$ e come verificheresti questo risultato.

5. Perché il logaritmo in base 10 di 1 è sempre uguale a 0? Come si collega alla proprietà delle potenze?

6. Un circuito è alimentato da una batteria da 12 V. Se passa una corrente di 250 mA, qual è la resistenza? Mostra tutti i passaggi, inclusa la conversione delle unità.

7. All’esame trovi tre resistenze da sommare: $0{,}5$ Ω, $500$ mΩ e $500.000$ µΩ. Un candidato ha risposto 500.501 Ω. Dov’è l’errore e qual è il risultato corretto?

8. Risolvi l’equazione $10 \times \log\left(\frac{x}{5}\right) = 7$ mostrando tutti i passaggi. Qual è la proprietà dei logaritmi che usi per semplificare?

📚 Glossary

• Equivalenza (di unità di misura) — Espressione di una stessa grandezza fisica in un multiplo o sottomultiplo diverso ma di uguale valore (es. 12 µH = 0,012 mH).
• Equazione di primo grado — Equazione algebrica in cui l’incognita compare con esponente 1 e si risolve isolando l’incognita mediante operazioni inverse.
• Formula inversa — Riscrittura di una formula per esprimere una grandezza diversa come incognita (es. da $I = V/R$ si ricava $R = V/I$).
• Giga (G) — Prefisso per $10^9$ (un miliardo).
• Kilo (k) — Prefisso per $10^3$ (mille).
• Logaritmo — L’esponente da dare alla base per ottenere un dato argomento. Il logaritmo in base 10 di $y$ è il numero $x$ tale che $10^x = y$.
• Logaritmo in base 10 (log) — Logaritmo comune, usato nella definizione dei decibel. Il 10 è spesso omesso: $\log y \equiv \log_{10} y$.
• Logaritmo naturale (ln) — Logaritmo in base $e \approx 2{,}718$. Non usato negli esercizi radioamatoriali.
• Mega (M) — Prefisso per $10^6$ (un milione).
• Micro (µ) — Prefisso per $10^{-6}$ (un milionesimo). Simbolo: lettera greca mu.
• Milli (m) — Prefisso per $10^{-3}$ (un millesimo).
• Nano (n) — Prefisso per $10^{-9}$ (un miliardesimo).
• Notazione scientifica — Rappresentazione di un numero come prodotto di una parte numerica e una potenza del 10.
• Omogeneità delle unità — Condizione necessaria per combinare grandezze: devono essere espresse nella stessa unità di misura.
• Pico (p) — Prefisso per $10^{-12}$ (un bilionesimo).
• Potenza del 10 — Numero espresso come $10^n$; l’esponente $n$ indica quanti zeri seguono l’1 (se positivo) o quante posizioni decimali prima della cifra significativa (se negativo).
• Sostituzione — Tecnica algebrica che consiste nel sostituire a una grandezza la sua espressione equivalente ricavata da un’altra formula.
• Tera (T) — Prefisso per $10^{12}$ (mille miliardi).

👥 Partecipanti

• 👨‍🏫 Relatrice principale: Lucia — docente della lezione di matematica applicata alla radiotecnica
• 👨‍🏫 Co-docenti/coordinatori: Fabrizio (coordinamento corso), Alessio (informazioni esame, esperienza anni precedenti)

📅 Informazioni Lezione